Google Chrome
Cramers metode er basert på bruk av determinanter for å løse systemer av lineære ligninger. Dette fremskynder løsningsprosessen betydelig.
Cramers metode kan brukes til å løse et system med like mange lineære ligninger som det er ukjente i hver ligning. Hvis determinanten til systemet ikke er lik null, kan Cramers metode brukes i løsningen, men hvis den er lik null, kan den ikke. I tillegg kan Cramers metode brukes til å løse systemer av lineære ligninger som har en unik løsning. Definisjon
. En determinant som består av koeffisienter for ukjente kalles en determinant av systemet og betegnes (delta).
Determinanter
;
.
oppnås ved å erstatte koeffisientene til de tilsvarende ukjente med frie termer:. Cramers teorem
Hvis determinanten til systemet ikke er null, har systemet med lineære ligninger én unik løsning, og det ukjente er lik forholdet mellom determinantene. Nevneren inneholder determinanten til systemet, og telleren inneholder determinanten som er hentet fra determinanten til systemet ved å erstatte koeffisientene til denne ukjente med frie ledd. Denne teoremet gjelder for et system av lineære ligninger av hvilken som helst rekkefølge. Eksempel 1.
Løs et system med lineære ligninger: I følge Cramers teorem
vi har:
Så løsningen på systemet (2):
nettkalkulator, Cramers løsningsmetode.
Tre tilfeller ved løsning av systemer med lineære ligninger Som det fremgår av Cramers teorem
, når du løser et system med lineære ligninger, kan tre tilfeller oppstå:
Første tilfelle: et system med lineære ligninger har en unik løsning
(systemet er konsistent og bestemt)
Andre tilfelle: et system med lineære ligninger har et uendelig antall løsninger
** 
,
de. koeffisientene til de ukjente og de frie leddene er proporsjonale.
Tredje tilfelle: systemet med lineære ligninger har ingen løsninger
(systemet er inkonsekvent)
Så systemet m lineære ligninger med n kalt variabler ikke-ledd, hvis hun ikke har en eneste løsning, og ledd, hvis den har minst én løsning. Et simultant ligningssystem som bare har én løsning kalles sikker, og mer enn én – usikker.
Eksempler på løsning av systemer av lineære ligninger ved bruk av Cramer-metoden
La systemet være gitt
.
Basert på Cramers teorem
………….
,
Hvor 
-
systemdeterminant. Vi får de gjenværende determinantene ved å erstatte kolonnen med koeffisientene til den tilsvarende variabelen (ukjent) med frie termer:
Eksempel 2.
.
Derfor er systemet klart. For å finne løsningen beregner vi determinantene
Ved å bruke Cramers formler finner vi:
Så, (1; 0; -1) er den eneste løsningen på systemet.
For å sjekke løsninger på likningssystemer 3 X 3 og 4 X 4, kan du bruke en online kalkulator som bruker Cramers løsningsmetode.
Hvis det i et system av lineære ligninger ikke er variabler i en eller flere ligninger, så er de tilsvarende elementene i determinanten lik null! Dette er neste eksempel.
Eksempel 3. Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Cramer-metoden:
.
Løsning. Vi finner determinanten for systemet:
Se nøye på likningssystemet og på systemets determinant og gjenta svaret på spørsmålet i hvilke tilfeller ett eller flere elementer i determinanten er lik null. Så determinanten er ikke lik null, derfor er systemet bestemt. For å finne løsningen beregner vi determinantene for de ukjente
Ved å bruke Cramers formler finner vi:
Så løsningen på systemet er (2; -1; 1).
For å sjekke løsninger på likningssystemer 3 X 3 og 4 X 4, kan du bruke en online kalkulator som bruker Cramers løsningsmetode.
Toppen av siden
Vi fortsetter å løse systemer ved hjelp av Cramers metode sammen
Som allerede nevnt, hvis determinanten til systemet er lik null, og determinantene til de ukjente ikke er lik null, er systemet inkonsekvent, det vil si at det ikke har noen løsninger. La oss illustrere med følgende eksempel.
Eksempel 6. Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Cramer-metoden:
Løsning. Vi finner determinanten for systemet:
Determinanten til systemet er lik null, derfor er systemet med lineære ligninger enten inkonsistent og bestemt, eller inkonsistent, det vil si at det ikke har noen løsninger. For å avklare, beregner vi determinanter for ukjente
Determinantene til de ukjente er ikke lik null, derfor er systemet inkonsekvent, det vil si at det ikke har noen løsninger.
For å sjekke løsninger på likningssystemer 3 X 3 og 4 X 4, kan du bruke en online kalkulator som bruker Cramers løsningsmetode.
I problemer som involverer systemer med lineære ligninger, er det også de der det, i tillegg til bokstaver som angir variabler, også er andre bokstaver. Disse bokstavene representerer et tall, oftest ekte. I praksis er slike ligninger og ligningssystemer ført til problemer med å søke etter generelle egenskaper til ethvert fenomen eller objekt. Det vil si at du har oppfunnet et nytt materiale eller en enhet, og for å beskrive egenskapene, som er vanlige uavhengig av størrelsen eller kvantiteten på prøven, må du løse et system med lineære ligninger, der det i stedet for noen koeffisienter for variabler er bokstaver. Du trenger ikke se langt etter eksempler.
Følgende eksempel er for et lignende problem, bare antallet ligninger, variabler og bokstaver som angir et bestemt reelt tall øker.
Eksempel 8. Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Cramer-metoden:
Løsning. Vi finner determinanten for systemet:
Finne determinanter for ukjente
Tenk på et system med 3 ligninger med tre ukjente
Ved å bruke 3. ordens determinanter kan løsningen til et slikt system skrives på samme form som for et system med to likninger, dvs.
(2.4)
hvis 0. Her
Det er der Cramers regel løse et system med tre lineære ligninger i tre ukjente.
Eksempel 2.3. Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Cramers regel:
Løsning . Finne determinanten til hovedmatrisen til systemet
Siden 0 kan vi bruke Cramers regel for å finne en løsning på systemet, men først beregner vi tre determinanter til:
Undersøkelse:
Derfor ble løsningen funnet riktig.
Cramers regler innhentet for lineære systemer av 2. og 3. orden antyder at de samme reglene kan formuleres for lineære systemer av enhver orden. Det skjer virkelig
Cramers teorem. Kvadratisk system av lineære ligninger med en ikke-null determinant av hovedmatrisen til systemet (0) har én og bare én løsning og denne løsningen beregnes ved hjelp av formlene
(2.5)
Hvor – determinant for hovedmatrisen, Jeg – matrisedeterminant, hentet fra den viktigste, erstatterJegkolonne kolonne med frie termer.
Merk at hvis =0, så gjelder ikke Cramers regel. Dette betyr at systemet enten ikke har noen løsninger i det hele tatt eller har uendelig mange løsninger.
Etter å ha formulert Cramers teorem, oppstår naturligvis spørsmålet om beregning av determinanter av høyere orden.
2.4. Determinanter av n. orden
Ytterligere mindre M ij element en ij er en determinant hentet fra en gitt ved å slette Jeg linjen og j kolonne. Algebraisk komplement EN ij element en ij moll av dette elementet tatt med tegnet (–1) kalles Jeg + j, dvs. EN ij = (–1) Jeg + j M ij .
La oss for eksempel finne de bi- og algebraiske komplementene til elementene en 23 og en 31 kvalifiseringer
Vi får
Ved å bruke begrepet algebraisk komplement kan vi formulere determinant dekomponering teoremn-te rekkefølge etter rad eller kolonne.
Teorem 2.1. MatrisedeterminantENer lik summen av produktene til alle elementene i en bestemt rad (eller kolonne) ved deres algebraiske komplementer:
(2.6)
Denne teoremet ligger til grunn for en av hovedmetodene for å beregne determinanter, den såkalte. metode for ordrereduksjon. Som et resultat av utvidelsen av determinanten n rekkefølge over en hvilken som helst rad eller kolonne, får vi n determinanter ( n–1) orden. For å ha færre slike determinanter, er det lurt å velge den raden eller kolonnen som har flest nuller. I praksis skrives ekspansjonsformelen for determinanten vanligvis som:
de. algebraiske tillegg er skrevet eksplisitt når det gjelder mindreårige.
Eksempler 2.4. Beregn determinantene ved først å sortere dem i en rad eller kolonne. I slike tilfeller velger du vanligvis kolonnen eller raden som har flest nuller. Den valgte raden eller kolonnen vil bli indikert med en pil.
2.5. Grunnleggende egenskaper til determinanter
Hvis vi utvider determinanten over en hvilken som helst rad eller kolonne, får vi n determinanter ( n–1) orden. Deretter hver av disse determinantene ( n–1) orden kan også utvides til en sum av determinanter ( n–2) orden. Ved å fortsette denne prosessen kan man nå 1. ordens determinantene, dvs. til elementene i matrisen hvis determinant beregnes. Så for å beregne 2. ordens determinanter, må du beregne summen av to ledd, for 3. ordens determinanter - summen av 6 ledd, for 4. ordens determinanter - 24 ledd. Antall termer vil øke kraftig ettersom rekkefølgen på determinanten øker. Dette betyr at beregning av determinanter av svært høye ordener blir en ganske arbeidskrevende oppgave, utover mulighetene til selv en datamaskin. Imidlertid kan determinanter beregnes på en annen måte ved å bruke egenskapene til determinanter.
Eiendom 1 . Determinanten vil ikke endres hvis radene og kolonnene i den byttes, dvs. når du transponerer en matrise:
.
Denne egenskapen indikerer likheten mellom radene og kolonnene til determinanten. Med andre ord, ethvert utsagn om kolonnene til en determinant er også sant for radene og vice versa.
Eiendom 2 . Determinanten skifter fortegn når to rader (kolonner) byttes om.
Konsekvens . Hvis determinanten har to identiske rader (kolonner), er den lik null.
Eiendom 3 . Fellesfaktoren for alle elementene i en hvilken som helst rad (kolonne) kan tas utover fortegnet til determinanten.
For eksempel,
Konsekvens . Hvis alle elementene i en bestemt rad (kolonne) i en determinant er lik null, er selve determinanten lik null.
Eiendom 4 . Determinanten vil ikke endres hvis elementene i en rad (kolonne) legges til elementene i en annen rad (kolonne), multiplisert med et hvilket som helst tall.
For eksempel,
Eiendom 5 . Determinanten av produktet av matriser er lik produktet av determinantene av matriser:
For å mestre dette avsnittet, må du kunne avsløre determinantene "to og to" og "tre av tre". Hvis du er dårlig med kvalifiseringer, vennligst les leksjonen Hvordan beregne determinanten?
Først skal vi se nærmere på Cramers regel for et system med to lineære ligninger i to ukjente. For hva? – Tross alt kan det enkleste systemet løses ved hjelp av skolemetoden, metoden med termin-for-termin addisjon!
Faktum er at, om enn noen ganger, oppstår en slik oppgave - å løse et system med to lineære ligninger med to ukjente ved å bruke Cramers formler. For det andre vil et enklere eksempel hjelpe deg å forstå hvordan du bruker Cramers regel for et mer komplekst tilfelle - et system med tre ligninger med tre ukjente.
I tillegg er det systemer med lineære ligninger med to variabler, som er tilrådelig å løse ved hjelp av Cramers regel!
Tenk på ligningssystemet
På første trinn beregner vi determinanten, heter det hoveddeterminanten for systemet.
Gauss metode.
Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere to determinanter:
Og
I praksis kan de ovennevnte kvalifiseringene også betegnes med en latinsk bokstav.
Vi finner røttene til ligningen ved å bruke formlene:
,
Eksempel 7
Løs et system med lineære ligninger 
Løsning: Vi ser at koeffisientene til ligningen er ganske store på høyre side er det desimalbrøker med komma. Kommaet er en ganske sjelden gjest i praktiske oppgaver i matematikk. Jeg tok dette systemet fra et økonometrisk problem.
Hvordan løser man et slikt system? Du kan prøve å uttrykke en variabel i form av en annen, men i dette tilfellet vil du sannsynligvis ende opp med forferdelige fancy brøker som er ekstremt upraktiske å jobbe med, og utformingen av løsningen vil se rett og slett forferdelig ut. Du kan multiplisere den andre ligningen med 6 og subtrahere ledd for ledd, men de samme brøkene vil også oppstå her.
Hva å gjøre? I slike tilfeller kommer Cramers formler til unnsetning.
;
;
Svar: ,
Begge røttene har uendelige haler og finnes omtrentlig, noe som er ganske akseptabelt (og til og med vanlig) for økonometriske problemer.
Kommentarer er ikke nødvendig her, siden oppgaven løses ved hjelp av ferdige formler, men det er ett forbehold. Når du bruker denne metoden, obligatorisk Et fragment av oppgavedesignet er følgende fragment: "Dette betyr at systemet har en unik løsning". Ellers kan anmelderen straffe deg for å ikke respektere Cramers teorem.
Det ville ikke være overflødig å sjekke, noe som enkelt kan utføres på en kalkulator: vi erstatter omtrentlige verdier på venstre side av hver ligning i systemet. Som et resultat, med en liten feil, bør du få tall som er på høyre side.
Eksempel 8
Presenter svaret i vanlige uekte brøker. Gjør en sjekk.
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (et eksempel på det endelige designet og svaret på slutten av leksjonen).
La oss gå videre til å vurdere Cramers regel for et system med tre ligninger med tre ukjente: 
Vi finner hoveddeterminanten for systemet: 
Hvis , så har systemet uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent (har ingen løsninger). I dette tilfellet vil ikke Cramers regel hjelpe du trenger å bruke Gauss-metoden.
Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere tre determinanter: 
, 
, 
Og til slutt beregnes svaret ved hjelp av formlene: 
Som du kan se, er "tre av tre"-tilfellet fundamentalt ikke forskjellig fra "to og to"-tilfellet, "går" sekvensielt fra venstre til høyre langs kolonnene til hoveddeterminanten.
Eksempel 9
Løs systemet ved å bruke Cramers formler. 
Løsning: La oss løse systemet ved å bruke Cramers formler. 
, som betyr at systemet har en unik løsning.
Svar: 
.
Her er det faktisk ikke noe spesielt å kommentere, på grunn av at løsningen følger ferdige formler. Men det er et par kommentarer.
Det hender at som et resultat av beregninger oppnås "dårlige" irreduserbare fraksjoner, for eksempel: .
Jeg anbefaler følgende "behandlings"-algoritme. Hvis du ikke har en datamaskin for hånden, gjør dette:
1) Det kan være feil i beregningene. Så snart du møter en "dårlig" brøkdel, må du umiddelbart sjekke Er betingelsen omskrevet riktig?. Hvis betingelsen skrives om uten feil, må du beregne determinantene på nytt ved å bruke utvidelse i en annen rad (kolonne).
2) Hvis ingen feil blir identifisert som et resultat av kontroll, så har det mest sannsynlig vært en skrivefeil i oppgavebetingelsene. I dette tilfellet jobbe rolig og NØYE gjennom oppgaven til slutten, og deretter sørg for å sjekke og vi tegner det opp på et rent ark etter vedtaket. Selvfølgelig er det en ubehagelig oppgave å sjekke et brøksvar, men det vil være et avvæpnende argument for læreren, som virkelig liker å gi minus for noe tull som . Hvordan håndtere brøker er beskrevet i detalj i svaret på eksempel 8.
Hvis du har en datamaskin for hånden, så bruk et automatisert program for å sjekke, som kan lastes ned gratis helt i begynnelsen av leksjonen. Forresten, det er mest lønnsomt å bruke programmet med en gang (selv før du starter løsningen vil du umiddelbart se mellomtrinnet der du gjorde en feil); Den samme kalkulatoren beregner automatisk løsningen til systemet ved hjelp av matrisemetoden.
Andre bemerkning. Fra tid til annen er det systemer i ligningene hvor noen variabler mangler, for eksempel: 
Her i den første ligningen er det ingen variabel, i den andre er det ingen variabel. I slike tilfeller er det svært viktig å skrive ned hoveddeterminanten riktig og NØYE: 
– Nuller plasseres i stedet for manglende variabler.
Det er forresten rasjonelt å åpne determinanter med nuller i henhold til raden (kolonnen) der nullen er plassert, siden det er merkbart færre beregninger.
Eksempel 10
Løs systemet ved å bruke Cramers formler. 
Dette er et eksempel på en uavhengig løsning (et utvalg av det endelige designet og svaret på slutten av leksjonen).
For tilfellet med et system med 4 ligninger med 4 ukjente, er Cramers formler skrevet i henhold til lignende prinsipper. Du kan se et levende eksempel i leksjonen Egenskaper til determinanter. Redusere rekkefølgen til determinanten - fem fjerde ordens determinanter er ganske løsbare. Selv om oppgaven allerede minner mye om en professorsko på brystet til en heldig student.
Løse et system ved hjelp av en invers matrise
Den inverse matrisemetoden er i hovedsak et spesialtilfelle matriseligning(Se eksempel nr. 3 i den angitte leksjonen).
For å studere denne delen må du kunne utvide determinanter, finne inversen til en matrise og utføre matrisemultiplikasjon. Relevante lenker vil bli gitt etter hvert som forklaringene skrider frem.
Eksempel 11
Løs systemet ved å bruke matrisemetoden 
Løsning: La oss skrive systemet i matriseform:
, Hvor 
Vennligst se på likningssystemet og matrisene. Jeg tror alle forstår prinsippet som vi skriver elementer inn i matriser etter. Den eneste kommentaren: hvis noen variabler manglet i ligningene, måtte nuller plasseres på de tilsvarende stedene i matrisen.
Vi finner den inverse matrisen ved å bruke formelen:
, hvor er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.
La oss først se på determinanten:
Her utvides determinanten på første linje.
Merk følgende! Hvis , eksisterer ikke den inverse matrisen, og det er umulig å løse systemet ved hjelp av matrisemetoden. I dette tilfellet løses systemet med metoden for å eliminere ukjente (Gauss-metoden).
Nå må vi beregne 9 mindreårige og skrive dem inn i mindreårige matrisen 
Henvisning: Det er nyttig å vite betydningen av doble abonnenter i lineær algebra. Det første sifferet er nummeret på linjen der elementet er plassert. Det andre sifferet er nummeret på kolonnen der elementet er plassert: 
Det vil si at en dobbel subscript indikerer at elementet er i første rad, tredje kolonne, og for eksempel elementet er i 3. rad, 2. kolonne
Under løsningen er det bedre å beskrive beregningen av mindreårige i detalj, selv om du med litt erfaring kan venne deg til å telle dem med feil muntlig.
Laster inn...
