Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).
Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме , где матрицаA имеет размерностьn наn и ее определитель отличен от нуля.
Так как , то матрицаА – обратима, то есть, существует обратная матрица. Если умножить обе части равенстванаслева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных. Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.
матричным
методом.
Перепишем
систему уравнений в матричной форме:
Так
как
то
СЛАУ можно решать матричным методом. С
помощью обратной матрицы решение этой
системы может быть найдено как
.
Построим
обратную матрицу
с
помощью матрицы из алгебраических
дополнений элементов матрицыА
(при
необходимости смотрите статьюметоды
нахождения обратной матрицы):
Осталось
вычислить
-
матрицу неизвестных переменных, умножив
обратную матрицу
на
матрицу-столбец свободных членов(при
необходимости смотрите статьюоперации
над матрицами):
или
в другой записи x
1
= 4, x
2
= 0, x
3
= -1
.
Основная проблема при нахождении решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом заключается в трудоемкости нахождения обратной матрицы, особенно для квадратных матриц порядка выше третьего.
Более подробное описание теории и дополнительные примеры смотрите в статье матричный метод решения систем линейных уравнений.
К началу страницы
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Пусть
нам требуется найти решение системы из
n
линейных уравнений сn
неизвестными
переменными
определитель
основной матрицы которой отличен от
нуля.
Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключаетсяx 1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключаетсяx 2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменнаяx n . Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называетсяпрямым ходом метода Гаусса . После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяx n , с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляетсяx n-1 , и так далее, из первого уравнения находитсяx 1 . Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называетсяобратным ходом метода Гаусса .
Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.
Будем
считать, что
,
так как мы всегда можем этого добиться
перестановкой местами уравнений системы.
Исключим неизвестную переменнуюx
1
из всех уравнений системы, начиная со
второго. Для этого ко второму уравнению
системы прибавим первое, умноженное на,
к третьему уравнению прибавим первое,
умноженное на,
и так далее, кn-ому
уравнению прибавим
первое, умноженное на.
Система уравнений после таких
преобразований примет вид
где,
а
.
К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменнаяx 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.
Далее
действуем аналогично, но лишь с частью
полученной системы, которая отмечена
на рисунке
Для
этого к третьему уравнению системы
прибавим второе, умноженное на
,
к четвертому уравнению прибавим второе,
умноженное на,
и так далее, кn-ому
уравнению прибавим
второе, умноженное на.
Система уравнений после таких
преобразований примет вид
где,
а
.
Таким образом, переменнаяx
2
исключена из всех уравнений, начиная с
третьего.
Далее
приступаем к исключению неизвестной
x
3
, при этом действуем
аналогично с отмеченной на рисунке
частью системы
Так
продолжаем прямой ход метода Гаусса
пока система не примет вид
С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x n из последнего уравнения как, с помощью полученного значенияx n находимx n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находимx 1 из первого уравнения.
Решите
систему линейных уравнений
методом
Гаусса.
Исключим
неизвестную переменную x
1
из второго и третьего уравнения системы.
Для этого к обеим частям второго и
третьего уравнений прибавим соответствующие
части первого уравнения, умноженные наи
насоответственно:
Теперь
из третьего уравнения исключим x
2
,
прибавив к его левой и правой частям
левую и правую части второго уравнения,
умноженные на:
На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.
Из
последнего уравнения полученной системы
уравнений находим x
3
:
Из второго уравнения получаем .
Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем обратный ход метода Гаусса .
x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .
Более детальную информацию и дополнительные примеры смотрите в разделе решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
К началу страницы
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x 1 , x 2 , ..., x n :
Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n .
В соответствии с правилом умножения матрицрассмотренная система линейных уравнений может быть записана вматричной форме Ax=b , где
Матрица A , столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы . Матрица-столбец b , элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы . Матрица-столбец x , элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы .
Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b , является матричным уравнением .
Если матрица системы невырождена , то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:
x=A -1 b .
Пример
Решить систему
матричным
методом.
Решение найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы
Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:
Поскольку Δ ≠ 0 , то A -1 существует.
Обратная матрица найдена верно.
Найдем
решение системы
Следовательно, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Проверка:
7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений.
Система линейных уравнений имеет вид:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .
Здесь а i j и b i (i = ; j = ) - заданные, а x j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:
где A = (а i j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы , X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x j и из свободных членов b i .
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c 1 , c 2 ,..., c n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x 1 , x 2 ,..., x n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такой, что AC B.
Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой , если она не имеет решений.
,
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера-Капелли . Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A иA совпадают, т.е. r(A) = r(A) = r.
Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:
1) M = (в этом случае система несовместна);
2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной );
3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной ). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.
Система
имеет единственное решение только в
том случае, когда
r(A) = n. При этом число
уравнений - не меньше числа неизвестных
(mn);
если m>n, то m-n уравнений являются
следствиями остальных. Если 0 Для
решения произвольной системы линейных
уравнений нужно уметь решать системы,
в которых число уравнений равно числу
неизвестных, - так называемые
системы крамеровского типа
: a 11
x 1
+
a 12
x 2
+...
+ a 1n
x n
=
b 1 , a 21
x 1
+ a 22
x 2
+...
+ a 2n
x n
=
b 2 ,
(5.3) ...
... ... ...
... ... a n1
x 1
+ a n1
x 2
+... + a nn
x n
= b n . Системы (5.3) решаются
одним из следующих способов: 1) методом
Гаусса, или методом исключения неизвестных;
2) по формулам Крамера;
3) матричным
методом. Пример
2.12
. Исследовать
систему уравнений и решить ее, если она
совместна: 5x 1
- x 2
+ 2x 3
+ x 4
= 7, 2x 1
+ x 2
+ 4x 3 -
2x 4
= 1, x 1
- 3x 2
- 6x 3
+ 5x 4
= 0. Решение.
Выписываем
расширенную матрицу системы:
Вычислим
ранг основной матрицы системы. Очевидно,
что, например, минор второго порядка в
левом верхнем углу
=
7
0; содержащие его миноры третьего порядка
равны нулю: Следовательно,
ранг основной матрицы системы равен 2,
т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной
матрицы A
рассмотрим окаймляющий минор значит,
ранг расширенной матрицы r(A)
= 3. Поскольку r(A)
r(A),
то система несовместна. Матричный метод
решения СЛАУ
применяют к решению систем уравнений, у которых количество уравнений соответствует количеству неизвестных. Метод лучше применять для решения систем низкого порядка. Матричный метод решения систем линейных уравнений основывается на применении свойств умножения матриц. Этот способ, другими словами метод обратной матрицы,
называют так, так как решение сводится к обычному матричному уравнению, для решения которого нужно найти обратную матрицу. Матричный метод решения
СЛАУ с определителем, который больше или меньше нуля состоит в следующем: Предположим, есть СЛУ (система линейных уравнений) с n
неизвестными (над произвольным полем): Значит, её легко перевести в матричную форму: AX=B
, где A
— основная матрица системы, B
и X
— столбцы свободных членов и решений системы соответственно: Умножим это матричное уравнение слева на A −1
— обратную матрицу к матрице A: A −1 (AX)=A −1 B.
Т.к. A −1 A=E
, значит, X=A −1 B
. Правая часть уравнения дает столбец решений начальной системы. Условием применимости матричного метода есть невырожденность матрицы A
. Необходимым и достаточным условием этого есть неравенство нулю определителя матрицы A
: detA≠0.
Для однородной системы линейных уравнений
, т.е. если вектор B=0
, выполняется обратное правило: у системы AX=0
есть нетривиальное (т.е. не равное нулю) решение лишь когда detA=0
. Эта связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений называется альтернатива Фредгольма.
Т.о., решение СЛАУ матричным методом производится по формуле Известно, что у квадратной матрицы А
порядка n
на n
есть обратная матрица A −1
только в том случае, если ее определитель ненулевой. Таким образом, систему n
линейных алгебраических уравнений с n
неизвестными решаем матричным методом только в случае, если определитель основной матрицы системы не равен нулю. Не взирая на то, что есть ограничения возможности применения такого метода и существуют сложности вычислений при больших значениях коэффициентов и систем высокого порядка, метод можно легко реализовать на ЭВМ. Для начала проверим, не равен ли нулю определитель матрицы коэффициентов у неизвестных СЛАУ. Теперь находим союзную матрицу
, транспонируем её и подставляем в формулу для определения обратной матрицы. Подставляем переменные в формулу: Теперь находим неизвестные, перемножая обратную матрицу и столбик свободных членов. Итак, x=2; y=1; z=4.
При переходе от обычного вида СЛАУ к матричной форме будьте внимательными с порядком неизвестных переменных в уравнениях системы. Например
: НЕЛЬЗЯ записать как: Необходимо, для начала, упорядочить неизвестные переменные в кадом уравнении системы и только после этого переходить к матричной записи: Кроме того, нужно быть внимательными с обозначением неизвестных переменных, вместо x 1 ,
x 2 , …, x n
могут оказаться другие буквы. К примеру
: в матричной форме записываем так: Матричным методом лучше решать системы линейных уравнений, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. Когда в системе более 3-х уравнений, на нахождение обратной матрицы потребуется больше вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса. Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
Основные понятия.
Определение 1
. Системой m
линейных уравнений с n
неизвестными называется система вида: где и Определение 2
. Решением системы (I) называется такой набор неизвестных , при котором каждое уравнение этой системы обращается в тождество. Определение 3
. Система (I) называется совместной
, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной
, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной
, если она имеет единственное решение, и неопределенной
в противном случае. Определение 4
. Уравнение вида называется нулевым
, а уравнение вида называется несовместным
. Очевидно, что система уравнений, содержащая несовместное уравнение, является несовместной. Определение 5
. Две системы линейных уравнений называются равносильными
, если каждое решение одной системы служит решением другой и, наоборот, всякое решение второй системы является решением первой. Матричная запись системы линейных уравнений.
Рассмотрим систему (I) (см. §1). Обозначим: Матрица коэффициентов при неизвестных Матрица – столбец свободных членов Матрица – столбец неизвестных Определение 1.
Матрица называется основной матрицей системы
(I), а матрица - расширенной матрицей системы (I). По определению равенства матриц системе (I) соответствует матричное равенство: Правую часть этого равенства по определению произведения матриц (см. определение 3 § 5 главы 1
) можно разложить на множители: Равенство (2)
называется матричной записью системы (I)
. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
Пусть в системе (I) (см. §1) m=n
, т.е. число уравнений равно числу неизвестных, и основная матрица системы невырожденная, т.е. . Тогда система (I) из §1 имеет единственное решение где Δ = det A
называется главным определителем системы
(I), Δ i
получается из определителя Δ заменой i
-го столбца на столбец из свободных членов системы (I). Пример.Решить систему методом Крамера: По формулам (3)
Вычисляем определители системы: Чтобы получить определитель , мы заменили в определителе первый столбец на столбец из свободных членов; заменяя в определителе 2-ой столбец на столбец из свободных членов, получаем ; аналогичным образом, заменяя в определителе 3-ий столбец на столбец из свободных членов, получаем . Решение системы: Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Пусть в системе(I) (см. §1) m=n
и основная матрица системы невырожденная . Запишем систему (I) в матричном виде (см. §2
): т.к. матрица A
невырожденная, то она имеет обратную матрицу (см. теорему 1 §6 главы 1
). Умножим обе части равенства (2)
на матрицу , тогда По определению обратной матрицы . Из равенства (3)
имеем Решить систему с помощью обратной матрицы Обозначим В примере (§ 3)мы вычислили определитель , следовательно, матрица A
имеет обратную матрицу . Тогда в силу (4)
, т.е. Найдем матрицу (см. §6 главы 1
) Метод Гаусса.
Пусть задана система линейных уравнений: Требуется найти все решения системы (I) или убедиться в том, что система несовместна. Определение 1.
Назовем элементарным преобразованием системы
(I) любое из трёх действий: 1) вычёркивание нулевого уравнения; 2) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на число l; 3) перемена местами слагаемых в уравнениях системы так, чтобы неизвестные с одинаковыми номерами во всех уравнениях занимали одинаковые места, т.е. если, например, в 1-ом уравнении мы поменяли 2-ое и 3-е слагаемые, тогда то же самое необходимо сделать во всех уравнениях системы. Метод Гаусса состоит в том, что система (I) с помощью элементарных преобразований приводится к равносильной системе, решение которой находится непосредственно или устанавливается её неразрешимость. Как было описано в §2 система (I) однозначно определяется своей расширенной матрицей и любое элементарное преобразование системы (I) соответствует элементарному преобразованию расширенной матрицы: Преобразование 1) соответствует вычёркиванию нулевой строки в матрице , преобразование 2) равносильно прибавлению к соответствующей строке матрицы другой её строки, умноженной на число l, преобразование 3) эквивалентно перестановке столбцов в матрице . Легко видеть, что, наоборот, каждому элементарному преобразованию матрицы соответствует элементарное преобразование системы (I). В силу сказанного, вместо операций с системой (I) мы будем работать с расширенной матрицей этой системы. В матрице 1-ый столбец состоит из коэффициентов при х 1
, 2-ой столбец - из коэффициентов при х 2
и т.д. В случае перестановки столбцов следует учитывать, что это условие нарушается. Например, если мы поменяем 1-ый и 2-ой столбцы местами, то теперь в 1-ом столбце будут коэффициенты при х 2
, а во 2-ом столбце - коэффициенты при х 1
. Будем решать систему (I) методом Гаусса. 1. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если такие имеются (т.е. вычеркнем в системе (I) все нулевые уравнения). 2. Проверим, есть ли среди строк матрицы строка, в которой все элементы, кроме последнего, равны нулю (назовём такую строку несовместной). Очевидно, что такой строке соответствует несовместное уравнение в системе (I) , следовательно, система (I) решений не имеет и на этом процесс заканчивается. 3. Пусть матрица не содержит несовместных строк (система (I) не содержит несовместных уравнений). Если a 11 =0
, то находим в 1-ой строке какой-нибудь элемент (кроме последнего) отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы в 1-ой строке на 1-ом месте не было нуля. Будем теперь считать, что (т.е. поменяем местами соответствующие слагаемые в уравнениях системы (I)). 4. Умножим 1-ую строку на и сложим результат со 2-ой строкой, затем умножим 1-ую строку на и сложим результат с 3-ей строкой и т.д. Очевидно, что этот процесс эквивалентен исключению неизвестного x 1
из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого. В новой матрице получаем нули в 1-ом столбце под элементом a 11
: 5. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если они есть, проверим, нет ли несовместной строки (если она имеется, то система несовместна и на этом решение заканчивается). Проверим, будет ли a 22 / =0
, если да, то находим во 2-ой строке элемент, отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы . Далее умножаем элементы 2-ой строки на Произведенные действия эквивалентны исключению неизвестного х 2
из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого и 2-ого. Так как число строк конечно, поэтому через конечное число шагов мы получим, что либо система несовместна, либо мы придём к ступенчатой матрице (см. определение 2 §7 главы 1
) : Выпишем систему уравнений, соответствующую матрице . Эта система равносильна системе (I) Из последнего уравнения выражаем ; подставляем в предыдущее уравнение, находим и т.д., пока не получим . Замечание 1.
Таким образом, при решении системы (I) методом Гаусса мы приходим к одному из следующих случаев. 1. Система (I) несовместна. 2. Система (I) имеет единственное решение, если в матрице число строк равно числу неизвестных (). 3. Система (I) имеет бесчисленное множество решений, если число строк в матрице меньше числа неизвестных (). Отсюда имеет место следующая теорема. Теорема.
Система линейных уравнений либо несовместна, либо имеет единственное решение, либо – бесконечное множество решений. Примеры. Решить систему уравнений методом Гаусса или доказать ее несовместность: а) б) в) а) Перепишем заданную систему в виде: Мы поменяли местами 1-ое и 2-ое уравнение исходной системы, чтобы упростить вычисления (вместо дробей мы с помощью такой перестановки будем оперировать только целыми числами). Составляем расширенную матрицу: Нулевых строк нет; несовместных строк нет, ; исключим 1-ое неизвестное из всех уравнений системы, кроме 1-го. Для этого умножим элементы 1-ой строки матрицы на «-2» и сложим с соответствующими элементами 2-ой строки, что равносильно умножению 1-го уравнения на «-2» и сложению со 2-ым уравнением. Затем умножим элементы 1-ой строки на «-3» и сложим с соответствующими элементами третьей строки, т.е. умножим 2-ое уравнение заданной системы на «-3» и сложим с 3-им уравнением. Получим Матрице соответствует система уравнений В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения. Определение 1
Метод обратной матрицы
- это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений. Пример 1
Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными: a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n Матричный вид записи
: А × X = B где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n - матрица системы. X = x 1 x 2 ⋮ x n - столбец неизвестных, B = b 1 b 2 ⋮ b n - столбец свободных коэффициентов. Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A - 1: A - 1 × A × X = A - 1 × B . Так как А - 1 × А = Е, то Е × X = А - 1 × В или X = А - 1 × В. Замечание
Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю. Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А. В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю, у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом. Решаем СЛАУ методом обратной матрицы: 2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2 Как решить?
А = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 . d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25 d e t А не равняется 0, следовательно для этой системы подходит метод решения обратной матрицей. А 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6 , А 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7 , А 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5 , А 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17 , А 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1 , А 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10 , А 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10 , А 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5 , А 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0 . А * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0 A - 1 = 1 d e t A (A *) T: А - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 , X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1 Ответ
: x 1 = - 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1 Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
.
. Либо, решение СЛАУ находят при помощи обратной матрицы
A −1
.Пример решения неоднородной СЛАУ.
- числа.
,
.
.
, т.е.
.
.
,
,
,
.
. (3)
.
; ; .
. (5)
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
. (I) .
.
и складываем с соответствующими элементами 3-ей строки, затем - элементы 2-ой строки на 
и складываем с соответствующими элементами 4-ой строки и т.д., пока не получим нули под a 22 /
.
,
.
;
;
.
.
.
.Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы
Пример 2
Загрузка...
