Attāluma aprēķins starp pilsētām, izmantojot to koordinātas. Attālums no punkta līdz punktam: formulas, piemēri, risinājumi Kā pēc koordinātām noskaidrot attālumu starp punktiem

Šeit būs kalkulators

Attālums starp diviem punktiem uz līnijas

Apsveriet koordinātu līniju, uz kuras ir atzīmēti 2 punkti: A A A Un B B B. Lai atrastu attālumu starp šiem punktiem, jāatrod segmenta garums A B AB A B. Tas tiek darīts, izmantojot šādu formulu:

Attālums starp diviem punktiem uz līnijas

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣ a −b∣,

Kur a, b a, b a, b- šo punktu koordinātas uz taisnes (koordinātu līnijas).

Sakarā ar to, ka formula satur moduli, to risinot nav svarīgi, no kuras koordinātas atņemt (jo tiek ņemta šīs starpības absolūtā vērtība).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣ a −b ∣ =∣ b −a∣

Apskatīsim piemēru, lai labāk izprastu šādu problēmu risinājumu.

1. piemērs

Punkti ir atzīmēti uz koordinātu līnijas A A A, kuras koordināte ir vienāda ar 9 9 9 un periods B B B ar koordinātu − 1 -1 − 1 . Mums ir jāatrod attālums starp šiem diviem punktiem.

Risinājums

Šeit a = 9, b = − 1 a=9, b=-1 a =9 , b =− 1

Mēs izmantojam formulu un aizstājam vērtības:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣ a −b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Atbilde

Attālums starp diviem plaknes punktiem

Apsveriet divus punktus, kas doti plaknē. No katra plaknē atzīmētā punkta jums jānolaiž divi perpendikuli: pret asi O X VĒRSIS O X un uz ass O Y OY OY. Tad tiek ņemts vērā trīsstūris A B C ABC A B C. Tā kā tas ir taisnstūrveida ( B C BC B C perpendikulāri A C AC A C), pēc tam atrodiet segmentu A B AB A B, kas ir arī attālums starp punktiem, var izdarīt, izmantojot Pitagora teorēmu. Mums ir:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Bet, pamatojoties uz to, ka garums A C AC A C vienāds ar x B − x A x_B-x_A x B​ − x A​ , un garums B C BC B C vienāds ar y B − y A y_B-y_A y B​ − y A​ , šo formulu var pārrakstīt šādi:

Attālums starp diviem plaknes punktiem

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 ​ ,

Kur x A , y A x_A, y_A x A​ , y A​ Un x B , y B x_B, y_B x B​ , y B​ - punktu koordinātas A A A Un B B B attiecīgi.

2. piemērs

Ir nepieciešams atrast attālumu starp punktiem C C C Un F F F, ja koordinātas pirmās (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , un otrais - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Risinājums

X C = 8 x_C = 8 x C​ = 8
y C = – 1 y_C=-1 y C​ = − 1
x F = 4 x_F = 4 x F​ = 4
y F = 2 y_F = 2 y F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x F​ − x C​ ) 2 + (y F​ − y C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Atbilde

Attālums starp diviem telpas punktiem

Attāluma atrašana starp diviem punktiem šajā gadījumā ir līdzīga iepriekšējam, izņemot to, ka punkta koordinātas telpā tiek norādītas attiecīgi ar trim cipariem, formulai jāpievieno arī aplikācijas ass koordinātas. Formula izskatīsies šādi:

Attālums starp diviem telpas punktiem

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

3. piemērs

Atrodiet segmenta garumu FK FKFK telpā, ja punktu koordinātas tās galos ir šādas: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) Un (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Atbildi noapaļo līdz tuvākajam veselajam skaitlim.

Risinājums

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K\; =\; (-3;\; 6;\; 0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem atbilde jānoapaļo līdz veselam skaitlim.

Attālums no punkta līdz punktam ir segmenta garums, kas savieno šos punktus noteiktā mērogā. Tādējādi, kad runa ir par attāluma mērīšanu, jums jāzina skala (garuma mērvienība), kurā tiks veikti mērījumi. Tāpēc attāluma no punkta līdz punkta atrašanas problēma parasti tiek aplūkota vai nu uz koordinātu līnijas, vai taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā plaknē vai trīsdimensiju telpā. Citiem vārdiem sakot, visbiežāk jums ir jāaprēķina attālums starp punktiem, izmantojot to koordinātas.

Šajā rakstā mēs vispirms atgādināsim, kā tiek noteikts attālums no punkta līdz punktam uz koordinātu līnijas. Tālāk mēs iegūstam formulas attāluma aprēķināšanai starp diviem plaknes vai telpas punktiem pēc dotajām koordinātām. Noslēgumā mēs detalizēti apsvērsim tipisku piemēru un problēmu risinājumus.

Lapas navigācija.

Attālums starp diviem punktiem uz koordinātu līnijas.

Vispirms definēsim apzīmējumu. Attālumu no punkta A līdz punktam B apzīmēsim kā .

No tā mēs varam secināt, ka attālums no punkta A ar koordinātu līdz punktam B ar koordinātu ir vienāds ar koordinātu starpības moduli, tas ir, jebkurai punktu atrašanās vietai uz koordinātu līnijas.

Attālums no punkta līdz punktam plaknē, formula.

Iegūstam formulu attāluma starp punktiem aprēķināšanai un dota taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmā plaknē.

Atkarībā no punktu A un B atrašanās vietas ir iespējamas šādas iespējas.

Ja punkti A un B sakrīt, tad attālums starp tiem ir nulle.

Ja punkti A un B atrodas uz taisnas līnijas, kas ir perpendikulāra abscisu asij, tad punkti sakrīt un attālums ir vienāds ar attālumu . Iepriekšējā rindkopā mēs noskaidrojām, ka attālums starp diviem punktiem koordinātu taisnē ir vienāds ar to koordinātu starpības moduli, tāpēc . Līdz ar to,.

Līdzīgi, ja punkti A un B atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra ordinātu asij, tad attālums no punkta A līdz punktam B tiek atrasts kā .

Šajā gadījumā trīsstūrim ABC ir taisnstūrveida konstrukcija un Un . Autors Pitagora teorēma mēs varam pierakstīt vienādību, no kurienes .

Apkoposim visus iegūtos rezultātus: attālumu no punkta līdz punktam plaknē nosaka caur punktu koordinātām, izmantojot formulu .

Iegūto formulu attāluma starp punktiem noteikšanai var izmantot, ja punkti A un B sakrīt vai atrodas uz taisnas līnijas, kas ir perpendikulāra vienai no koordinātu asīm. Patiešām, ja A un B sakrīt, tad . Ja punkti A un B atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra Vērša asij, tad. Ja A un B atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra Oy asij, tad .

Attālums starp punktiem telpā, formula.

Ieviesīsim telpā Oxyz taisnstūra koordinātu sistēmu. Iegūsim formulu attāluma no punkta atrašanai līdz punktam .

Kopumā punkti A un B neatrodas plaknē, kas ir paralēla vienai no koordinātu plaknēm. Nozīmēsim caur punktiem A un B plaknes, kas ir perpendikulāras koordinātu asīm Ox, Oy un Oz. Šo plakņu krustošanās punkti ar koordinātu asīm dos mums punktu A un B projekcijas uz šīm asīm. Mēs apzīmējam projekcijas .

Nepieciešamais attālums starp punktiem A un B ir attēlā redzamā taisnstūra paralēlskaldņa diagonāle. Pēc konstrukcijas šī paralēlskaldņa izmēri ir vienādi Un . Vidusskolas ģeometrijas kursā tika pierādīts, ka kuboīda diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu, tāpēc . Pamatojoties uz informāciju šī raksta pirmajā sadaļā, mēs varam uzrakstīt šādas vienādības, tāpēc

no kurienes mēs to ņemam formula attāluma noteikšanai starp punktiem telpā .

Šī formula ir spēkā arī tad, ja punkti A un B

• saskaņot;
• pieder vienai no koordinātu asīm vai taisnei, kas ir paralēla vienai no koordinātu asīm;
• pieder vienai no koordinātu plaknēm vai plaknei, kas ir paralēla vienai no koordinātu plaknēm.

Attāluma atrašana no punkta līdz punktam, piemēri un risinājumi.

Tātad, mēs esam ieguvuši formulas attāluma noteikšanai starp diviem punktiem koordinātu taisnē, plaknē un trīsdimensiju telpā. Ir pienācis laiks apskatīt tipisku piemēru risinājumus.

Problēmu skaits, kurās pēdējais solis ir atrast attālumu starp diviem punktiem pēc to koordinātām, ir patiešām milzīgs. Pilnīgs šādu piemēru apskats ir ārpus šī raksta darbības jomas. Šeit mēs aprobežosimies ar piemēriem, kuros ir zināmas divu punktu koordinātas un ir nepieciešams aprēķināt attālumu starp tiem.

Matemātikas uzdevumu risināšana skolēniem bieži vien ir saistīta ar daudzām grūtībām. Mūsu vietnes galvenais mērķis ir palīdzēt studentam tikt galā ar šīm grūtībām, kā arī iemācīt pielietot esošās teorētiskās zināšanas, risinot konkrētas problēmas visās kursa sadaļās priekšmetā “Matemātika”.

Uzsākot problēmas risināšanu par tēmu, skolēniem jāprot konstruēt punktu plaknē, izmantojot tā koordinātas, kā arī atrast dotā punkta koordinātas.

Attāluma aprēķins starp diviem punktiem A(x A; y A) un B(x B; y B), kas uzņemts plaknē, tiek veikts, izmantojot formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), kur d ir segmenta garums, kas savieno šos plaknes punktus.

Ja viens no segmenta galiem sakrīt ar koordinātu sākumpunktu, bet otram ir koordinātas M(x M; y M), tad d aprēķināšanas formula būs OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Attāluma starp diviem punktiem aprēķins, pamatojoties uz šo punktu dotajām koordinātām

1. piemērs.

Atrodiet nogriežņa garumu, kas koordinātu plaknē savieno punktus A(2; -5) un B(-4; 3) (1. att.).

Risinājums.

Problēmas formulējums nosaka: x A = 2; x B = -4; y A = -5 un y B = 3. Atrodiet d.

Izmantojot formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2, iegūstam:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Koordinātu aprēķins punktam, kas atrodas vienādā attālumā no trim dotajiem punktiem

2. piemērs.

Atrodiet koordinātas punktam O 1, kas atrodas vienādā attālumā no trim punktiem A(7; -1) un B(-2; 2) un C(-1; -5).

Risinājums.

No uzdevuma nosacījumu formulējuma izriet, ka O 1 A = O 1 B = O 1 C. Lai vēlamajam punktam O 1 ir koordinātes (a; b). Izmantojot formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) mēs atrodam:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Izveidosim divu vienādojumu sistēmu:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Pēc vienādojumu kreisās un labās puses kvadrātošanas mēs rakstām:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Vienkāršojot, rakstīsim

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Atrisinot sistēmu, iegūstam: a = 2; b = -1.

Punkts O 1 (2; -1) atrodas vienādā attālumā no trīs nosacījumā norādītajiem punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes. Šis punkts ir apļa centrs, kas iet cauri trim dotajiem punktiem (2. att.).

3. Abscisu (ordinātu) aprēķins punktam, kas atrodas uz abscisu (ordinātu) ass un atrodas noteiktā attālumā no dotā punkta.

3. piemērs.

Attālums no punkta B(-5; 6) līdz punktam A, kas atrodas uz Vērša ass, ir 10. Atrodiet punktu A.

Risinājums.

No uzdevuma nosacījumu formulējuma izriet, ka punkta A ordināta ir vienāda ar nulli un AB = 10.

Apzīmējot punkta A abscisu ar a, rakstām A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0–6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Mēs iegūstam vienādojumu √((a + 5) 2 + 36) = 10. Vienkāršojot, mēs iegūstam

a 2 + 10a – 39 = 0.

Šī vienādojuma saknes ir a 1 = -13; un 2 = 3.

Iegūstam divus punktus A 1 (-13; 0) un A 2 (3; 0).

Pārbaude:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0–6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0–6) 2) = 10.

Abi iegūtie punkti ir piemēroti atbilstoši uzdevuma nosacījumiem (3. att.).

4. Abscisu (ordinātu) aprēķins punktam, kas atrodas uz abscisu (ordinātu) ass un atrodas vienādā attālumā no diviem dotajiem punktiem.

4. piemērs.

Atrodiet uz Oy ass punktu, kas atrodas vienādā attālumā no punktiem A (6, 12) un B (-8, 10).

Risinājums.

Uzdevuma nosacījumos prasītā punkta koordinātas, kas atrodas uz Oy ass, ir O 1 (0; b) (punktā, kas atrodas uz Oy ass, abscisa ir nulle). No nosacījuma izriet, ka O 1 A = O 1 B.

Izmantojot formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) mēs atrodam:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Mums ir vienādojums √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) vai 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Pēc vienkāršošanas iegūstam: b – 4 = 0, b = 4.

Punkts O 1 (0; 4), ko prasa uzdevuma nosacījumi (4. att.).

5. Tāda punkta koordinātu aprēķins, kas atrodas vienādā attālumā no koordinātu asīm un kāda dotā punkta

5. piemērs.

Atrodiet punktu M, kas atrodas koordinātu plaknē vienādā attālumā no koordinātu asīm un no punkta A(-2; 1).

Risinājums.

Nepieciešamais punkts M, tāpat kā punkts A(-2; 1), atrodas otrajā koordinātu leņķī, jo atrodas vienādā attālumā no punktiem A, P 1 un P 2 (5. att.). Punkta M attālumi no koordinātu asīm ir vienādi, tāpēc tā koordinātas būs (-a; a), kur a > 0.

No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

tie. |-a| = a.

Izmantojot formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) mēs atrodam:

MA = √((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Izveidosim vienādojumu:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Pēc kvadrātošanas un vienkāršošanas mums ir: a 2 – 6a + 5 = 0. Atrisiniet vienādojumu, atrodiet a 1 = 1; un 2 = 5.

Iegūstam divus punktus M 1 (-1; 1) un M 2 (-5; 5), kas atbilst uzdevuma nosacījumiem.

6. Koordinātu aprēķins punktam, kas atrodas vienā noteiktā attālumā no abscisu (ordinātu) ass un no dotā punkta.

6. piemērs.

Atrodiet punktu M, lai tā attālums no ordinātu ass un punkta A(8; 6) būtu vienāds ar 5.

Risinājums.

No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka MA = 5 un punkta M abscisa ir vienāda ar 5. Lai punkta M ordināta ir vienāda ar b, tad M(5; b) (6. att.).

Saskaņā ar formulu d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) mums ir:

MA = √((5–8) 2 + (b–6) 2).

Izveidosim vienādojumu:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Vienkāršojot, iegūstam: b 2 – 12b + 20 = 0. Šī vienādojuma saknes ir b 1 = 2; b 2 = 10. Līdz ar to ir divi punkti, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: M 1 (5; 2) un M 2 (5; 10).

Zināms, ka daudziem skolēniem, patstāvīgi risinot problēmas, nepieciešamas pastāvīgas konsultācijas par to risināšanas paņēmieniem un metodēm. Bieži vien skolēns nevar atrast veidu, kā atrisināt problēmu bez skolotāja palīdzības. Mūsu mājaslapā skolēns var saņemt nepieciešamos padomus problēmu risināšanā.

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrast attālumu starp diviem plaknes punktiem?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Matemātika

§2. Punkta koordinātas plaknē

3. Attālums starp diviem punktiem.

Mēs ar jums tagad varam runāt par punktiem skaitļu valodā. Piemēram, mums vairs nav jāpaskaidro: ņemiet punktu, kas atrodas trīs vienības pa labi no ass un piecas vienības zem ass. Pietiek pateikt vienkārši: uztveriet punktu.

Mēs jau teicām, ka tas rada noteiktas priekšrocības. Tātad no punktiem veidotu zīmējumu varam pārsūtīt pa telegrāfu, nodot to datoram, kurš zīmējumus nemaz nesaprot, bet skaitļus saprot labi.

Iepriekšējā rindkopā mēs definējām dažas plaknes punktu kopas, izmantojot attiecības starp skaitļiem. Tagad mēģināsim konsekventi tulkot citus ģeometriskos jēdzienus un faktus skaitļu valodā.

Sāksim ar vienkāršu un kopīgu uzdevumu.

Atrodiet attālumu starp diviem plaknes punktiem.

Risinājums:
Kā vienmēr, mēs pieņemam, ka punkti ir doti pēc to koordinātām, un tad mūsu uzdevums ir atrast likumu, pēc kura mēs varam aprēķināt attālumu starp punktiem, zinot to koordinātas. Atvasinot šo noteikumu, protams, ir atļauts ķerties pie zīmējuma, taču pašā noteikumā nedrīkst būt nekādas atsauces uz zīmējumu, bet tikai jāparāda, kādas darbības un kādā secībā ir jāveic uz dotajiem cipariem - koordinātām. no punktiem - lai iegūtu vēlamo skaitli - attālums starp punktiem.

Iespējams, dažiem lasītājiem šī pieeja problēmas risināšanai šķitīs dīvaina un tālejoša. Kas ir vienkāršāk, viņi teiks, punkti tiek doti, pat pēc koordinātām. Uzzīmējiet šos punktus, paņemiet lineālu un izmēriet attālumu starp tiem.

Šī metode dažreiz nav tik slikta. Tomēr vēlreiz iedomājieties, ka jums ir darīšana ar datoru. Viņai nav lineāla, un viņa nezīmē, bet viņa prot skaitīt tik ātri, ka viņai tas nemaz nav problēma. Ievērojiet, ka mūsu problēma ir formulēta tā, ka noteikums attāluma starp diviem punktiem aprēķināšanai sastāv no komandām, kuras var izpildīt mašīna.

Labāk ir vispirms atrisināt problēmu, kas uzdota īpašajam gadījumam, kad viens no šiem punktiem atrodas koordinātu sākumpunktā. Sāciet ar dažiem skaitliskiem piemēriem: atrodiet attālumu no punktu sākuma; Un .

Piezīme. Izmantojiet Pitagora teorēmu.

Tagad uzrakstiet vispārīgu formulu, lai aprēķinātu punkta attālumu no sākuma.

Punkta attālumu no sākuma nosaka pēc formulas:

Acīmredzot ar šo formulu izteiktais noteikums atbilst iepriekš minētajiem nosacījumiem. Jo īpaši to var izmantot aprēķinos iekārtās, kas var reizināt skaitļus, saskaitīt tos un iegūt kvadrātsaknes.

Tagad atrisināsim vispārējo problēmu

Doti divi punkti plaknē, atrodiet attālumu starp tiem.

Risinājums:
Apzīmēsim ar , , , punktu projekcijas un uz koordinātu asīm.

Apzīmēsim līniju krustošanās punktu ar burtu . No taisnleņķa trīsstūra, izmantojot Pitagora teorēmu, iegūstam:

Bet segmenta garums ir vienāds ar segmenta garumu. Punkti un , atrodas uz ass, un tiem ir attiecīgi koordinātas un . Saskaņā ar 2. punkta 3. punktā iegūto formulu attālums starp tiem ir vienāds ar .

Līdzīgi argumentējot, mēs atklājam, ka segmenta garums ir vienāds ar . Atrastās vērtības aizstājot ar formulu, ko iegūstam.